Untersuchung der Kontur
Inhaltsverzeichnis
\(\\\)
Aufgabe 1 – Tiefpunkt
Wir definieren zunächst die Funktion \(f\).
Beachte: Der Mal-Punkt muss bei der Definition mitgeschrieben werden.
\(\\\)
Für Extrempunkte gilt die
\(\\[1em]\)
Notwendige Bedingung
\(\quad f'(x) = 0 \)
Die Ableitung bilden wir mit dem Werkzeug
\(\\\)
und erhalten dann die 1. Ableitung:
\(\\\)
Zum Lösen der Gleichung verwenden wir den Solve-Befehl:
\(\\\)
Zum Überprüfen der Art des Extrempunktes benötigen wir die
\(\\[1em]\)
Hinreichende Bedingung
\(\quad f_1''(x) \not=0 \)
Dazu bilden wir die 2. Ableitung mit
\(\\\)
und überprüfen die \(x\)-Werte
\(\\\)
\( \quad \begin{array}{ c c l l } f''(0) & < & 0 \quad \Rightarrow \quad \textrm{Hochpunkt} \\[6pt] f''(3) & > & 0 \quad \Rightarrow \quad \textrm{Tiefpunkt} \\[6pt] f''(6) & < & 0 \quad \Rightarrow \quad \textrm{Hochpunkt} \end{array} \)
\(\\[1em]\)
Funktionswert
\(\\\)
Der Tiefpunkt hat die Koordinaten \(( 3 | 1{,}028 )\).
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – Graph von f
Um den Graphen zu zeichnen gehen wir in den Graphik-Modus des CAS und geben die Funktionsgleichung ein
\(\\\)
und lassen den Graph zeichnen.
\(\\\)
Den richtigen Ausschnitt erhalten wir indem wir den Definitionsbereich und den Wertebereich anpassen.
Dazu gehen wir auf
\(\\\)
\(\\\)
Als Defintionsbereich wählen wir \([0 {,} 6]\) und als Wertebereich \([0 {,} 2.5]\).
\(\\\)
Wir bestätigen die Einstellungen mit OK.
\(\\\)
Um den Graphen genauer zeichnen zu können blenden wir die Wertetabelle ein. Dazu gehen wir auf
\(\\\)
Die Punkte übertragen wir in die Zeichnung und skizzieren den Graphen.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Breite von 3 Dezimetern
\(\\\)
Nur \(x_2 =1{,}40469\) und \(x_3 =4{,}59531\) liegen innerhalb des Definitionsbereichs mit
\( \quad \mathbb{D} = \{ x \in \mathbb{R} \, \big| \, 0 \leq x \leq 6 \} \)
\(\\\)
Folglich beträgt der gesuchte
\( \quad Abstand \; = \; x_3 - x_2 \; = \; 4{,}59531 - 1{,}40469 \; = \; 3{,}19062 \, dm \)
\(\\\)